Теория вероятности: Распределение случайных величин

Содержимое статьи:

• Распределение случайной величины с заданной плотностью распределения
• Решение:

Распределение случайной величины с заданной плотностью распределения

Условие: Пусть случайная величина (X) распределена с плотностью распределения (f(x) = 2 \sin(2x)) на отрезке ([\pi/4, \pi/2]).
Требуется:

• Найти функцию распределения (F(x)).
• Найти плотность распределения (f(x)).
• Найти среднее значение случайной величины (E(X)).
  

  Решение:

  Функция распределения: $$F(x) = \int{-\infty}^x f(t) dt = \begin{cases} 0, & x < \pi/4 \\ \int{\pi/4}^x 2\sin(2t) dt = 1-\cos(2x), & \pi/4 \le x \le \pi/2 \\ 1, & x > \pi/2 \end{cases}$$
  Плотность распределения: $$f(x) = \frac{d}{dx} F(x) = \begin{cases} 0, & x < \pi/4 \\ 2\sin(2x), & \pi/4 \le x \le \pi/2 \\ 0, & x > \pi/2 \end{cases}$$
  Среднее значение: $$E(X) = \int{-\infty}^\infty x f(x) dx = \int{\pi/4}^{\pi/2}x 2\sin(2x) dx = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$$