Теория вероятностей в высшей математике: Поиск функции распределения случайной величины

Содержимое статьи:

• Задача 5

Задача 5

Найти функцию распределения F(x) случайной величины X. Построить графики функций F(x) и f(x). Вычислить для X её среднее значение M(x), дисперсию D(x) и среднее квадратичное отклонение σ(x).
Дано:

• K = 10

• R = 16 Решение: 1. Нахождение функции распределения F(x) Построим таблицу возможных значений случайной величины X и их вероятностей:	X	P(X)
  1	1/4
  2	1/4
  3	1/8
  4	1/8

  Функция распределения F(x) - это функция, которая вычисляет вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное x. Таким образом:

  F(x) = P(X <= x)

• При x < 1: F(x) = 0
• При 1 ≤ x < 2: F(x) = P(X = 1) = 1/4
• При 2 ≤ x < 3: F(x) = P(X = 1 или X = 2) = 1/4 + 1/4 = 1/2
• При 3 ≤ x < 4: F(x) = P(X = 1 или X = 2 или X = 3) = 1/4 + 1/4 + 1/8 = 5/8
• При x ≥ 4: F(x) = 1
  2. Построение графиков F(x) и f(x) График функции F(x) представляет собой ломаную линию, которая соответствует ступенчатому изменению вероятностей.
  

  +-------+----+---+---+----+
  
  |       |    |   |   |    |
  
  |       +----+---+---+----+
  
  |       0    1/4 1/2 5/8 1
  
  +---------------------------+
  
  1      2      3      4    x

  График плотности вероятности f(x) получается дифференцированием F(x).

  +-------+----+---+---+----+
  
  |       |    |   |   |    |
  
  |       +----+---+---+----+
  
  |       0    1/4 1/4 1/8 1/8
  
  +---------------------------+
  
  1      2      3      4    x

  3. Вычисление среднего значения, дисперсии и среднего квадратичного отклонения Среднее значение (M(x))

  M(x) = ∑(x * P(x)) = (1 * 1/4) + (2 * 1/4) + (3 * 1/8) + (4 * 1/8) = 2,5

  Дисперсия (D(x))

  D(x) = ∑((x - M(x))^2 * P(x)) = ((1 - 2,5)^2 * 1/4) + ((2 - 2,5)^2 * 1/4) + ((3 - 2,5)^2 * 1/8) + ((4 - 2,5)^2 * 1/8) = 1,25

  Среднее квадратичное отклонение (σ(x))

  σ(x) = √D(x) = √1,25 = 1,12