Теория вероятностей и математическая статистика: Задачи с решениями

Содержимое статьи:

• Математическое ожидание и дисперсия
• Вероятность попадания в интервал

Математическое ожидание и дисперсия

Задача: Задана плотность распределения вероятностей случайной величины $X$:

f(x) = { x, при 0 ≤ x ≤ 1

{ 2 - x, при 1 ≤ x ≤ 2

{ 0, иначе

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $X$.
Решение:

• Математическое ожидание:
  

  E(X) = ∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx = ∫_{0}^{1} x^2 dx + ∫_{1}^{2} x(2 - x) dx = 1/3

• Дисперсия:
  

  Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = ∫_{-∞}^{∞} x^2 f(x) dx - (1/3)^2 = 1/18

  Вероятность попадания в интервал

  Задача: Определите вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал (0,5; 1].
  Решение:

  P(0,5 < X ≤ 1) = ∫_{0,5}^{1} f(x) dx = ∫_{0,5}^{1} x dx = [x^2/2]_{0,5}^{1} = 1/4